问题 问答题

2005年10月12日9时,“神舟六号”飞船发射升空,飞船按预定轨道在太空飞行四天零十九小时32分(用t表示),环绕地球77圈(用n表示).“神舟六号”运行过程中由于受大气阻力和地球引力的影响,飞船飞行轨道会逐渐下降.为确保正常运行,“神舟六号”飞船飞行到第30圈时,对飞船进行了一次精确的“轨道维持”(通过发动机向后喷气,利用反冲校准轨道).设总质量为m的“神舟六号”飞船的预定圆形轨道高度为h,当其实际运行高度比预定轨道高度低了△h时,控制中心开始启动轨道维持程序,开动小动量发动机,经时间△t后,飞船恰好重新进入预定轨道平稳飞行.地球半径为R,地球表面重力加速度为g.

(1)求“神舟六号”轨道离地面高度h的表达式(用题中所给的数据表示);

(2)已知质量为m的物体在地球附近的万有引力势能Ep=-

R2mg
r
(以无穷远处引力势能为零,r表示物体到地心的距离),忽略在轨道维持过程中空气阻力对飞船的影响,求在轨道维持过程中,小动量发动机的平均功率P的表达式(轨道离地面高度为h不用代入(1)问中求得的结果).

答案

(1)飞船绕地球做圆周运动时,由万有引力提供向心力,则得

GMm
(R+h)2
=m(R+h)
4π2
T2
  ①

而 T=

t
n
 ②

在地球表面上,有 mg=G

Mm
R2
  ③

由①②③得h=

3
gR2t2
4n2π2
-R

(2)由万有引力提供向心力,得

 

GMm
(R+h)2
=m
v12
R+h

 

GMm
(R+h-△h)2
=m
v22
R+h-△h

由能量守恒知  P△t=(

1
2
mv12-
R2mg
R+h
)-(
1
2
mv22-
R2mg
R+h-△h
)

P=

1
2△t
(
R2mg
R+h-△h
-
R2mg
R+h
)

答:

(1)“神舟六号”轨道离地面高度h的表达式为h=

3
gR2t2
4n2π2
-R.

(2)在轨道维持过程中,小动量发动机的平均功率P的表达式为P=

1
2△t
(
R2mg
R+h-△h
-
R2mg
R+h
).

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