抛物线y2=4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2，y

问题解答题

抛物线y²=4x的焦点为F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在抛物线上且A，B，F三点共线且|AB|=

求（1）直线AB的方程．
（2）△AOB外接圆方程．

答案

（1）∵y²=4x的焦点F（1，0），

依题意，设直线AB的方程为y=k（x-1），因为|AB|=

，

由抛物线的定义可得：|AB|=|AA′|+|BB′|=x₁+1+x₂+1=

，

∴x₁+x₂=

．

由

y=k(x-1)

y2=4x

得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，

∴x₁+x₂=

2k2+4

，

∴k²=

，又k＞0，

∴k=

．

∴直线AB的方程为：y=

（x-1）．

（2）将k²=

代入k²x²-（2k²+4）x+k²=0得：4x²-17x+4=0，

∴x=

或x=4，即x₁=4，x₂=

，将x₁，x₂分别代入直线AB的方程y=

（x-1）得：y₁=4，y₂=-1．

∴A（4，4），B（

，-1）．

设△AOB外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，

则：

F=0

16+16+4D+4E=0

+1+

D-E=0

，解得

F=0

D=-

E=-

．

故△AOB外接圆方程为x²+y²-

y=0．