在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosφy=sinφ（φ为参数

问题解答题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=cosφ

y=sinφ

（φ为参数），曲线C₂的参数方程为

x=acosφ

y=bsinφ

（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C₁，C₂各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=

时，这两个交点重合．
（I）分别说明C₁，C₂是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当α=

时，l与C₁，C₂的交点分别为A₁，B₁，当α=-

时，l与C₁，C₂的交点为A₂，B₂，求四边形A₁A₂B₂B₁的面积．

答案

（Ⅰ）C₁是圆，C₂是椭圆．

当α=0时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），

因为这两点间的距离为2，所以a=3

当α=

时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），

因为这两点重合

所以b=1．

（Ⅱ）C₁，C₂的普通方程为x²+y²=1和

+y2=1．

当α=

时，射线l与C₁交点A₁的横坐标为x=

，

与C₂交点B₁的横坐标为x′=

．

当α=-

时，射线l与C₁，C₂的两个交点A₂，

B₂分别与A₁，B₁关于x轴对称，因此四边形A₁A₂B₂B₁为梯形．

故四边形A₁A₂B₂B₁的面积为

(2x′+2x)(x′-x)

．