问题
解答题
已知函数f（x）=mx3+3x2-3x，m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=-1处取得极值，试求m的值，并求f（x）在点M（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设m＜0，若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．
答案
（Ⅰ）f'（x）=3mx2+6x-3．
因为函数f（x）在x=-1处取得极值，所以f'（-1）=0，解得m=3．
于是函数f（x）=3x3+3x2-3x，f（1）=3，f'（x）=9x2+6x-3．
函数f（x）在点M（1，3）处的切线的斜率k=f'（1）=12，
则f（x）在点M处的切线方程为12x-y-9=0．（6分）
（Ⅱ）当m＜0时，f'（x）=3mx2+6x-3是开口向下的抛物线，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，
应满足
或m＜0 -
≥21 m f′(-
)＞01 m m＜0 -
＜21 m f′(2)＞0.
解得-
≤m＜0，或-1 2
＜m＜-3 4
，所以m的取值范围是(-1 2
，0)．（14分）3 4