问题
解答题
已知双曲线C：
（1）求双曲线C的方程； （2）设经过焦点F2的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）2-y2=3上． （3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）c=2c2=a2+b2
∴4=a2+3a2∴a2=1，b2=3，∴双曲线为x2-
=1．y2 3
（2）l：m（x-2）+y=0由
得（3-m2）x2+4m2x-4m2-3=0y=-mx+2m x2-
=1y2 3
由△＞0得4m4+（3-m2）（4m2+3）＞012m2+9-3m2＞0即m2+1＞0恒成立
又x1+x2＞0 x1•x2＞0
＞04m2 m2-3
＞04m2+3 m2-3
∴m2＞3∴m∈(-∞，-
)∪(3
，+∞)3
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
=x1+x2 2 2m2 m2-3
=-y1+y2 2
+2m=2m3 m2-3 -6m m2-3
∴AB中点M(
，-2m2 m2-3
)6m m2-3
∵3(
-1)2-2m2 m2-3
=3×36m2 (m2-3)2
-(m2+3)2 (m2-3)2
=3•36m2 (m2-3)2
=3m4+6m2+9-12m2 (m2-3)2
∴M在曲线3（x-1）2-y2=3上．
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），设存在实数m，使∠AOB为锐角，则
•OA
＞0OB
∴x1x2+y1y2＞0
因为y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m2x1x2-2m2（x1+x2）+4m2
∴（1+m2）x1x2-2m2（x1+x2）+4m2＞0
∴（1+m2）（4m2+3）-8m4+4m2（m2-3）＞0即7m2+3-12m2＞0
∴m2＜
，与m2＞3矛盾3 5
∴不存在