（1）∵f（x）定义域为（0，+∞）

f（x）的导数为f′(x)=

1-lnx

x2

∵f(

1

e

)=-e，

又∵k=f′(

1

e

)=2e2，

∴函数y=f（x）在x=

1

e

处的切线方程为：y+e=2e2(x-

1

e

)，

即：y=2e²x-3e

（2）∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数；

当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上为减函数；

∴fmax(x)=f(e)=

1

e

．

（3）∵2009，2010∈（e，+∞），且2009＜2010，

又∵f(x)=

lnx

x

在（e，+∞）上为减函数，

∴

ln2009

2009

＞

ln2010

2010

，

∴2010ln2009＞2009ln2010，

∴ln2009²⁰¹⁰＞ln2010²⁰⁰⁹，

∴2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹