问题
解答题
已知圆A：（x-2）2+y2=1，曲线B：6-x=
（1）若点M、N、P分别是圆A、曲线B和直线l上的任意点，求|PM|+|PN|的最小值； （2）已知动直线m：（a-2）x+by-2a+3=0（a，b∈R）与圆A相交于S、T两点，又点Q的坐标是（a，b）． ①判断点Q与圆A的位置关系； ②求证：当实数a，b的值发生变化时，经过S、T、Q三点的圆总过定点，并求出这个定点坐标． |
答案
（1）化简曲线B：6-x=
，得（x-6）2+y2=4（x≤6）4-y2 
∴曲线B是以（6，0）为圆心、半径r=2的圆的左半部分．
作圆A关于直线l对称的圆C：x2+（y-2）2=1，设M关于l的对称点M1，
则|PM|+|PN|=|PM1|+|PN|≥|M1N|，
当且仅当M1、N、P三点共线时，等号成立．
∵|M1N|的最小值为|CB|-1-2=
-3=2(6-0)2+(0-2)2
-3，10
∴|PM|+|PN|的最小值等于2
-3；10
（2）①∵圆A的圆心A（2，0）到直线m的距离为
d=
=|2(a-2)-2a+3| (a-2)2+b2
＜1，1 (a-2)2+b2
∴
＞1，可得点Q到圆心A的距离大于半径，因此点Q在圆A的外部；(a-2)2+b2
②∵AQ的斜率kAQ=
，ST的斜率kST=-b a-2 a-2 b 
∴kAQ•kST=
•（-b a-2
）=-1，可得AQ、ST互相垂直．a-2 b
设AQ、ST的交点为H，则
∵|AS|2=1，|AH|=
，|AQ|=1 (a-2)2+b2
，(a-2)2+b2
∴|AS|2=|AH|•|AQ|，可得AS⊥SQ．
同理可得AT⊥TQ，所以A、S、T、Q四点共圆，所在圆是以AQ为直径的圆．
因此，经过S、T、Q三点的圆必定经过点A（2，0）．
