（1）因为函数f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，

则函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；

（2）因为f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，

即k（x-1）＜x+xlnx，因为x＞1，

也就是k＜

x+xlnx

x-1

对任意x＞1恒成立．

令g(x)=

x+xlnx

x-1

，则g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，

令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，

所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．

因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，

所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．

当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

所以函数g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．

所以[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+inx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0

[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0∈(3，4)．

所以k＜[g（x）]_min=x₀

因为x₀∈（3，4）．故整数k的最大值是3．