问题
解答题
| 已知函数f（x）=mx-lnx-3（m∈R）．讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数； （1）若函数f（x）在x=1处取得极值，存在x∈（0，+∞）使f（x）≤nx-4有解，求实数n的取值范围； （2）当0＜a＜b＜4且b≠e时，试比较
|
答案
（1）f′(x)=m-
=1 x
(x＞0)mx-1 x
则f'（1）=m-1=0，∴m=1，∴f（x）=x-lnx-3
由题意知x-ln3-3≤nx-4在x∈（0，+∞）有解
∴n≥1-
+lnx x
有解，1 x
令g(x)=1-
+lnx x
，即n≥g（x）min，g′(x)=-1 x 2-lnx x2
则函数f（x）在区间（0，e2）上单调递减，在区间（e2，+∞）上单调递增．
∴g(x)min=g(e2)=1-
+2 e2
=1-1 e2 1 e2
∴n≥1-1 e2
（2）由 （1）知g(x)=1+
在 （0，4）上是减函数1-lnx x
∵0＜a＜b＜4，∴g（a）＞g（b）
∴
＞1-lna a
，∴b（1-lna）＞a（1-lnb）1-lnb b
当0＜b＜e时，1-lnb＞0，∴
＞1-lna 1-lnb
；a b
当e＜b＜4时，1-lnb＜0，∴
＜1-lna 1-lnb
．a b