已知函数f（x）=ax3-x，其中a≤13．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）

问题解答题

已知函数f（x）=ax³-x，其中a≤

．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]上的最大值．

答案

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³-x，f（2）=6，f'（2）=11

所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-6=11（x-2），

即11x-y-16=0；（6分）

（Ⅱ）f'（x）=3ax²-1．

当a≤0时，f'（x）=3ax²-1＜0，y=f（x）在[-1，1]单调递减，∴f（x）_max=f（-1）=-a+1；

当0＜a≤

时，令f'（x）=0，解得x1=-

，x2=

．

因为0＜a≤

，所以x2=

＞1且x1=-

＜-1，

又当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，

故y=f（x）在[-1，1]单调递减，∴f（x）_max=f（-1）=-a+1；

综上，函数f（x）在[-1，1]上的最大值为-a+1．（14分）