因为椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的短轴的两个端点为焦点，所以c=3，

设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，点A（4，-5）在双曲线上，

所以

(-5)2

a2

-

42

b2

=1，

又a²+b²=9，与上式联立解得a=

5

，b=2，

所求的双曲线方程为：

y2

5

-

x2

4

=1．