（1）求导函数可得f′(x)=

2

x

，g（x）=2a²x+a

∵曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行

∴f′（1）=g′（1）

∴2=2a²+a且a＞0

∴a=

17 -1

4

；

（2）对于任意的x∈（0，+∞），e

1

f′(x)

-mx≥0恒成立，即mx≤e

x

2

∴m≤（

e x 2

x

）_min．

设F（x）=

e x 2

x

，则F′（x）=

1 2 e x 2 (x-2)

x2

当x∈（0，2）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，2）上单调递减；当x∈（2，+∞）时，F′（x）＞0，∴F（x）在（2，+∞）上单调递增

∴F（x）_min=F（2）=

e

2

∴m的最大值为

e

2

；

（3）由（2）可知a=1，故g（x）=x²+x+1在x∈[1，e]时，g（x）_min=g（1）=3

∴h（x）=f（x）-kf′（x）=2lnx-

2k

x

在x∈[1，e]时最小值为3

令h′（x）=

2(x+k)

x2

=0，可得x=-k

①当-k≤1，即k≥-1时，h′（x）≥0，此时h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）_min=h（1）=-2k=3，∴k=-

3

2

（舍去）；

②当-k≥e，即k≤-e时，h′（x）≤0，此时h（x）在[1，e]上单调递减，∴h（x）_min=h（e）=2-

2k

e

=3，∴k=-

e

2

（舍去）；

③当1＜-k＜e，即-e＜k＜-1时，x∈（1，-k）时，h′（x）＜0，此时h（x）在[1，-k）上单调递减，x∈（-k，e）时，h′（x）＞0，此时h（x）在[1，-k）上单调递增，∴h（x）_min=h（-k）=2ln（-k）+2=3，∴k=-

e

；

综上可知，k=-

e

．