问题
解答题
已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
（Ⅰ）求m，n的值； （Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成 立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=3mx2-1，f′（1）=1，∴3m-1=1，∴m=
．2 3
∴f（x）=
x3-x，f(1)=2 3
-1=-2 3
．1 3
又点N（1，n）在曲线上，∴n=-
．…（6分）1 3
（Ⅱ）由f′（x）=2x2-1，x∈[-1，3]知，
当x∈(-1， -
)∪(2 2
，3)时f′（x）＞0；2 2
当x∈(-
， 2 2
)时f′（x）＜0，2 2
∴f(x)在[-1，-
]和[2 2
，3]上递增，在[-2 2
，2 2
]上递减．…（8分）2 2
∵f(-
)=2 2
，f(3)=15，∴f（x）在[-1，3]上最大值为15．∴k-1992≥15，k≥2007．2 3
故存在最小自然数2007．…（12分）