∵f（x）=cosx+sinx，
∴f′（x）=-sinx+cosx，

∵曲线f(x)=cosx+cos(x-

π

2

)(x∈(-

π

4

，

7π

4

))在（x₀，f（x₀））处的切线的倾斜角为

π

4

，

∴k=tan

π

4

=1，

∴f′（x₀）=1，得-sinx₀+cosx₀=1，

即sin（x₀-

π

4

）=-

2

2

，由于x0∈(-

π

4

，

7π

4

)，
解得x₀=0或

3π

2

．

故选D．