问题
解答题
已知函数f（x）=lnx+x2+ax．
（I）当a=-4时，求方程f（x）+x2=0在（1，+∞）上的根的个数；
（II）若f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
答案
（I）当a=-4时，令g（x）=f（x）+x2=lnx+2x2-4x，
只要求出g（x）在区间（1，+∞）上的零点的个数即可，
由g′（x）=
+4x-4=1 x
在（1，+∞）上恒大于0可知，(2x-1)2 x
g（x）在区间（1，+∞）上是单调递增的函数，
又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，
故g（x）在区间（1，+∞）上恰有1个零点；
（II）由题意可得g′（x）=
+2x+a=1 x 2x2+ax+1 x
在（0，+∞）上恰有两个互不相等的零点即可，
只需对分子上的二次函数有
，解得a＜-2-
＞0a 2 △=a2-8＞0 2