问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，求a的取值范围； （2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，求直线l的方程； （3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x1，y1），且x1∈[-2，2]，求a的取值范围． |
答案
由题意得f'（x）=x2+2x+3a．
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，设l的斜率为k，
则x2+2x+3a=2，3a=2-x2-2x≤3⇒a≤1，
∴a的取值范围（-∞，1]；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，
设切点M（x，y），则x2+2x+3a=2有惟一解，⇒△=0⇒a=1，
且x=-1，切点M（-1，-
），4 3
∴直线l的方程为：y+
=2（x+1），即：2x+y+4 3
=0；2 3
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x1，y1），
则x12+2x1+3a=2且x1∈[-2，2]，
3a=2-x12-2x1∈[-6，3]，⇒a∈[-2，1]
故a的取值范围[-2，1]．