问题 解答题
已知函数f(x)=
1
3
x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围;
(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围;
(3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由.
答案

(1)f'(x)=x2-4x+3,则f′(x)=(x-2)2-1≥-1,

即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞);------------(4分)

(2)由(1)可知,

k≥-1
-
1
k
≥-1
---------------------------------------------------------(6分)

解得-1≤k<0或k≥1,由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1

得:x∈(-∞,2-

2
]∪(1,3)∪[2+
2
,+∞);-------------------------------(9分)

(3)设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B(x2,y2),x1≠x2

则切线方程是:y-(

1
3
x31
-2
x21
+3x1)=(
x21
-4x1+3)(x-x1),

化简得:y=(

x21
-4x1+3)x+(-
2
3
x31
+2
x21
),--------------------------(11分)

而过B(x2,y2)的切线方程是y=(

x22
-4x1+3)x+(-
2
3
x32
+2
x22
),--------------------------(,

由于两切线是同一直线,

则有:

x21
-4x1+3=
x22
-4x1+3,得x1+x2=4,----------------------(13分)

又由-

2
3
x31
+2
x21
=-
2
3
x32
+2
x22

即-

2
3
(x1-x2)(
x21
+x1x2+
x22
)+(x1-x2)(x1+x2)=0

-

1
3
x21
+x1x2+
x22
)+4=0,即x1(x1+x2)+
x22
-12=0

即(4-x2)×4+

x22
-12=0,
x22
-4x2+4=0

得x2=2,但当x2=2时,由x1+x2=4得x1=2,这与x1≠x2矛盾.

所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.----------------------------------(16分)

单项选择题
不定项选择