设曲线y=e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线l与x轴，y轴所围成的三角

问题填空题

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线l与x轴，y轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为______．

答案

因为f'（x）=（e^-x）'=-e^-x，所以切线l的斜率为-e^-t，

故切线l的方程为y-e^-t=-e^-t（x-t），即e^-tx+y-e^-t（t+1）=0

令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e^-t（t+1）

所以S（t）=

（t+1）•e^-1（t+1）=

（t+1）²e^{-1
从而S′（t）=
1
2
e^-1（1-t）（1+t）．
∵当t∈（0，1）时，S'（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，S'（t）＜0，
∴S（t）的最大值为S（1）=
2
e
．
故答案为：
2
e}