问题
解答题
一条斜率为1的直线ℓ与离心率为
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答案
∵双曲线
-x2 a2
=1(a>0,b>0)的离心率为y2 b2
,b2=2a2,3
∴双曲线方程即:
-x2 a2
=1,设直线ℓ方程:y=x+k,点R(0,k)y2 2a2
代入双曲线方程得:x2-2kx-k2-2a2=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2),
则x1+x2=2k,则x1•x2=-k2-2a2,
∵
•OP
=-3,∴(x1,y1)•(x2,y2)=x1•x2+(x1+k)(x2+k)=2x1•x2+k(x1+x2)+k2OQ
=2(-k2-2a2)+k•2k+k2=k2-4a2=-3 ①,
∵
=4PQ
,RQ
∴(x2-x1,x2-x1)=4(x2-0,x2+k-k),∴x1=-3x2②
把②代入根与系数的关系得:x1=3k,x2=-k,k2=a2,
再由①得:a=1,k=±1,
∴直线ℓ的方程为x-y-1=0 或x-y+1=0,
双曲线的方程:x2-
=1.y2 2