问题 解答题
一条斜率为1的直线ℓ与离心率为
3
的双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于P、Q两点,直线ℓ与y轴交于点R,且
OP
OQ
=-3
PQ
=4
RQ
,求直线与双曲线方程.
答案

∵双曲线

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为
3
,b2=2a2

∴双曲线方程即:

x2
a2
-
y2
2a2
=1,设直线ℓ方程:y=x+k,点R(0,k)

代入双曲线方程得:x2-2kx-k2-2a2=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2),

则x1+x2=2k,则x1•x2=-k2-2a2

OP
OQ
=-3,∴(x1,y1)•(x2,y2)=x1•x2+(x1+k)(x2+k)=2x1•x2+k(x1+x2)+k2

=2(-k2-2a2)+k•2k+k2=k2-4a2=-3      ①,

PQ
=4
RQ

∴(x2-x1,x2-x1)=4(x2-0,x2+k-k),∴x1=-3x2

把②代入根与系数的关系得:x1=3k,x2=-k,k2=a2

再由①得:a=1,k=±1,

∴直线ℓ的方程为x-y-1=0 或x-y+1=0,

双曲线的方程:x2-

y2
2
=1.

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