已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A

问题解答题

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

+λ

，求λ的值．

答案

（1）直线AB的方程是y=2

（x-

），与y²=2px联立，有4x²-5px+p²=0，

∴x₁+x₂=

由抛物线定义得：|AB|=x₁+x₂+p=9

∴p=4，∴抛物线方程是y²=8x．

（2）由p=4，4x²-5px+p²=0得：x²-5x+4=0，

∴x₁=1，x₂=4，

y₁=-2

，y₂=4

，从而A（1，-2

），B（4，4

）．

设

=（x₃，y₃）=（1，-2

）+λ（4，4

）=（4λ+1，4

λ-2

）

又[2

（2λ-1）]²=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．