问题
解答题
已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N*），其导函数记为fn′（x），且满足fn′[ax1+(1-a)x2] =
（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值； （Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值． |
答案
（Ⅰ）∵f2（x）=x2f2'（x）=2x
∴2[ax1+(1-a)x2] =x22-x12 x2-x1
∴（x1-x2）（2a-1）=0
∵x1≠x2，∴a=
；1 2
（Ⅱ）∵f1（x）=xf2（x）=x2f3（x）=x3，∴g（x）=mx2+x-3lnx（x＞0）
∴g′（x）=2mx2+x-3 x
∵函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，
∴该零点左右g′（x）同号，
∵m≠0，∴二次方程2mx2+x-3=0有相同实根
∴△=1+24m=0
∴m=-
；1 24
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=
，k=g′（x）=2mx-1 2
+1，k′=2m+3 x 3 x2
∵x∈[0，
]，∴1 2
∈[12，+∞)3 x2
∴①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，
]上递增1 2
∴当x=
时，k取得最大值，且最大值为m-5；1 2
②当m＜-6时，由k′=0，得x=
，而0＜- 3 2m
＜- 3 2m 1 2
若x∈(0，
)，则k′＞0，k单调递增；- 3 2m
若x∈(
，- 3 2m
)，则k′＜0，k单调递减；1 2
故当x=
时，k取得最大值且最大值为1-2- 3 2m
．-6m
综上，kmax=m-5，(-6≤m＜0或m＞0) 1-2
，(m＜-6)-6m