（1）f′(x)=-x2-

2

3

x+

5

3

，令f'（x）=0，解得：x=-

5

3

（舍）或x=1

当0≤x≤1时，f'（x）≥0；当x＞1时，f'（x）＜0，

所以f（x）_极大值=f（1）=3，无极小值．

（2）由 （1）知f（x）在区间[0，1]单调递增，所以f（x）在区间[0，1]的值域为[f（0），f（1）]，即[-4，-3]．

（3）因为g'（x）=3x²-3ax且a≥1，所以当x∈[0，1]时g'（x）≤0，所以g（x）在区间[0，1]单调递减，

所以g（x）在区间[0，1]的值域为[g（1），g（0）]，即[1-3a²-2a，-2a]．

又对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立等价为f（x）在区间[0，1]的值域⊆g（x）在区间[0，1]的值域，

即[-4，-3]⊆[1-3a²-2a，-2a]，

即

1-3a2-2a≤-4 -2a≥-3

，解得：1≤a≤

3

2

．