(12分)金属硬杆轨道“ABCDEFGHIP”固定置于竖直平面内,CDE、FGH两半圆形轨道半径分别为、
,足够长的PI、AB直轨与水平均成θ=37°,一质量为m的小环套在AB杆上,环与BC、EF、HI水平直杆轨道间的动摩擦因数均为μ=0.1,其中BC=
、EF=
、HI=
,其他轨道均光滑,轨道拐弯连接处也光滑,环通过连接处时动能损失忽略不计,现环在AB杆上从距B点
处的地方无初速释放.已知sin37°=0.6,试求:
(1)从释放到第一次到达B所用的时间;
(2)第一次过小圆道轨最高点D时,环对轨道的作用力;
(3)小环经过D的次数及环最终停在什么位置?
(1);(2)
;(3)最终停在I处。
题目分析:(1)
得:
(2)从A→D:
得:
第一次在D处:(假设轨道对环的力是向下的)
得:
所以环对轨道的作用力是竖直向上的,大小为
(3)假设小环第n次向左过D时(n为大于等于1的整数),速度设为
由动能定理得:
>0
n<,所以最多向左第3次通过D点
假设小环第k次向左过大圆轨道最高点G时,速度设为由动能定理得:
>0
k<,所以最多向左第2次通过G点
如果环能第2次向右过G点,说明最终环在FE之间,所以要证明是否能第2次能向右过G点,设第2次向右过G点时速度为
由动能定理得:
即:
显然是动能不可能为负的,说明不会第2次向右过G点,也就不可能出现第3次向左过D点。
所以,过D点的次数为3次(2次向左1次向右)
当环第2次向左过G点后,环只能在G的左侧做往复运动,最后停在IH轨道上的某处设环在“IH”直轨上的运动路程为
得,是3a的7倍,所以小环最终停在I处。