问题
解答题
已知函数F（x）=ax-lnx（a＞0）
（1）若曲线y=f（x）在点（l，f（l））处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（2）若当x∈[l，e]时，函数f（x）的最小值是4，求函数f（x）在该区间上的最大值．
答案
（1）求导函数，可得f′（x）=a-
（x＞0）…（1分）1 x
由f′（1）=a-1=2，∴a=3…（2分）
∴f（1）=3…（3分）
∴b=f（1）-2×1=1…（4分）
（2）定义域为（0，+∞），f′（x）=a-
=1 x
…（5分）ax-1 x
由f′（x）＞0，得x＞
，f′（x）＜0，得0＜x＜1 a 1 a
∴f（x）在（0，
）上单调递减，在（1 a
，+∞）单调递增…（7分）1 a
若
≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]单调递增，∴f（x）min=f（1）=a=4，此时f（x）max=f（e）=4e-1…（9分）1 a
若
≥e，即0＜a≤1 a
时，f（x）在[1，e]单调递减，∴f（x）min=f（e）=ae-1=4，∴a=1 e
＞5 e
（不合题意）…（11分）1 e
若1＜
＜e，即1 a
＜a＜1时，f（x）在（1，1 e
）单调递减，在（1 a
，e）单调递增，∴f（x）min=f（1 a
）=1+lna=41 a
此时a=e3（不合题意）
综上知，f（x）max=4e-1…（13分）