已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1、F2

问题填空题

已知双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F₁、F₂，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上异于顶点的任一点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F₂作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，下面八个命题：
①△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=b上；
②△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=a上；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线OP上；
④△PF₁F₂的内切圆必通过点（a，0）；
⑤|OB|=e|OA|；
⑥|OB|=|OA|；
⑦|OA|=e|OB|；
⑧|OA|与|OB|关系不确定．
其中正确的命题的代号是______．

答案

根据题意得F₁（-c，0）、F₂（c，0），

设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A₁、B₁，与F₁F₂切于点A，

则|PA₁|=|PB₁|，|F₁A₁|=|F₁A|，|F₂B₁|=|F₂A|，

又点P在双曲线右支上，

所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁A|-|F₂A|=2a，而|F₁A|+|F₂A|=2c，

设A点坐标为（x，0），

则由|F₁A|-|F₂A|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a

解得x=a，则△PF₁F₂的内切圆必通过点（a，0），△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=a上，

故②，④正确．

由于|OA|=a，在三角形PCF₂中，由题意得，三角形PCF₂是一个等腰三角形，PC=PF₂，

∴在三角形F₁CF₂中，有：

OB=

CF₁=

（PF₁-PC）=

（PF₁-PF₂）=

×2a=a．

∴|OB|=|OA|．⑥正确．

故答案为：②，④，⑥．