问题
解答题
已知定义在（0，+∞）上的两个函数f(x)=x2-alnx，g(x)=x-a
（1）求a的值及函数g（x）的单调区间； （2）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜
（3）把g（x）对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C1，求C1与f（x）对应曲线C2的交点个数，并说明理由． |
答案
（1）∵f′（x）=2x-
，∴f'（1）=2-a=0，∴a=2．…（2分）a x
∴g(x)=x-2
．由g′(x)=1-x
＞0，得x＞1；1 x
由g′(x)=1-
＜0，得0＜x＜1．1 x
∴g（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．…（4分）
（2）∵1＜x＜e2，
∴0＜lnx＜2，
∴2-lnx＞0．
欲证x＜
，只需证明2x-xlnx＜2+lnx，2+lnx 2-lnx
即只需证lnx＞
．2(x-1) x+1
记F(x)=lnx-
，2(x-1) x+1
则F′(x)=
．(x-1)2 x(x+1)2
当x＞1时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（1，+∞）上是增函数．
∴F（x）＞F（1）=0，
∴F（x）＞0，即lnx-
＞0．2(x-1) x+1
∴lnx＞
．故结论成立． …（8分）2(x-1) x+1
（3）由题意知C1：h(x)=x-2
+6．x
问题转化为G(x)=x2-2lnx-(x-2
+6)=0在（0，+∞）上解的个数．…（10分）x
G′(x)=2x-2
-1+1 x
=1 x
=2x2-2-x+ x x
．(
-1)(2xx
+2x+x
+2)x x
由G'（x）＞0，得x＞1；由G'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴G（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减．
又G（1）=-4＜0，所以G(x)=x2-2lnx-(x-2
+6)=0x
在（0，+∞）上有2个解．
即C1与f（x）对应曲线C2的交点个数是2．…（14分）