已知抛物线D的顶点是椭圆x24+y23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点

问题解答题

已知抛物线D的顶点是椭圆

=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点．（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．…（1分）

椭圆

=1中a²-b²=4-3=1，得c=1，∴抛物线的焦点为（1，0），

∴

=1，∴p=2，∴抛物线D的方程为y²=4x．…（3分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

（i）直线l的方程为：y=x-4，…（4分）

联立

y=x-4

y2=4x

，整理得：x²-12x+16=0…（5分）

∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16

∴|AB|=

(1+1)2[(x1+x2)2-4x1x2

．…（7分）

（ⅱ）设存在直线m：x=a满足题意，则圆心M(

x1+4

，

)，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，…（9分）

即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

x1+4

-a)2

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

+a(x1+4)-a2

=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2…（11分）

当a=3时，|EG|²=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2

．…（12分）

因此存在直线m：x=3满足题意 …（13分）