问题
解答题
已知函数f（x）=ex（x2+ax-a），其中a是常数．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
答案
（Ⅰ）由f（x）=ex（x2+ax-a）可得，
f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]，．…（2分）
当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e．…（4分）
所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=4e（x-1），
即y=4ex-3e．…（5分）
（Ⅱ） 令f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]=0，
解得x=-（a+2）或x=0．…（6分）
当-（a+2）≤0，即a≥-2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是[0，+∞）上的增函数．
所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根．…（8分）
当-（a+2）＞0，即a＜-2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
| x | 0 | （0，-（a+2）） | -（a+2） | （-（a+2），+∞） | ||
| f′（x） | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | -a | ↘ |
| ↗ |
| a+4 |
| ea+2 |
因为 函数f（x）是（0，-（a+2））上的减函数，是（-（a+2），+∞）上的增函数，
且当x≥-a时，有f（x）≥e-a（-a）＞-a．…（11分）
所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是（
，-a]．…（13分）a+4 ea+2