（1）由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，

得|

EF2

EF1

|=|

F2B

F1A

|=

1

2

，从而

a2 c -c

a2 c +c

=

1

2

整理，得a²=3c²，故离心率e=

c

a

=

3

3

（2）由（I）得b²=a²-c²=2c²，

所以椭圆的方程可写为2x²+3y²=6c²

设直线AB的方程为y=k(x-

a2

c

)，即y=k（x-3c）．

由已知设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则它们的坐标满足方程组

y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2

消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．

依题意，△=48c2(1-3k2)＞0，得-

3

3

＜k＜

3

3

而x1+x2=

18k2c

2+3k2

①

x1x2=

27k2c2-6c2

2+3k2

②

由题设知，点B为线段AE的中点，所以x₁+3c=2x₂③

联立①③解得x1=

9k2c-2c

2+3k2

，x2=

9k2c+2c

2+3k2

将x₁，x₂代入②中，解得k=±

2

3

．

（III）解法一：由（II）可知x1=0，x2=

3c

2

当k=-

2

3

时，得A(0，

2

c)，由已知得C(0，-

2

c)．

线段AF₁的垂直平分线l的方程为y-

2

2

c=-

2

2

(x+

c

2

)直线l与x轴

的交点(

c

2

，0)是△AF₁C外接圆的圆心，

因此外接圆的方程为(x-

c

2

)2+y2=(

c

2

+c)2．

直线F₂B的方程为y=

2

(x-c)，

于是点H（m，n）的坐标满足方程组

(m- c 2 )2+n2= 9c2 4 n= 2 (m-c)

，

由m≠0，解得

m= 5 3 c n= 2 2 3 c

故

n

m

=

2 2

5

当k=

2

3

时，同理可得

n

m

=-

2 2

5

．

解法二：由（II）可知x1=0，x2=

3c

2

当k=-

2

3

时，得A(0，

2

c)，由已知得C(0，-

2

c)

由椭圆的对称性可知B，F₂，C三点共线，

因为点H（m，n）在△AF₁C的外接圆上，

且F₁A∥F₂B，所以四边形AF₁CH为等腰梯形．

由直线F₂B的方程为y=

2

(x-c)，

知点H的坐标为(m，

2

m-

2

c)．

因为|AH|=|CF₁|，所以m2+(

2

m-

2

c-

2

c)2=a2，解得m=c（舍），或m=

5

3

c．

则n=

2 2

3

c，所以

n

m

=

2 2

5

．当k=

2

3

时同理可得

n

m

=-

2 2

5