已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一

问题解答题

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．
（1）求c的值；
（2）求

的取值范围；
（3）当b=3a时，求使A={y|y=f（x），-3≤x≤2}，A⊆[-3，2]成立的实数a的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，f'（x）=3ax²+2bx+c，f（x）在x=0有极值，

∴f'（0）=0即c=0

（2）f'（x）=3ax²+2bx，由f'（x）=x（3ax+2b）=0，

得x=0或x=-

f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调性相反-4≤-

≤-2，故3≤

≤6．

（3）b=3a，且-2是f（x）的一个零点，f（-2）=-8a+12a+d=0，d=-4af（x）=ax³+3ax²-4a，

f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2）由f'（x）=0得x=0或x=-2

①当a＞0时

所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a

②当a＜0时

所以当a＜0时，若-3≤x≤2，则16a≤f（x）≤-4a

得

a＞0

16a≤2

-4a≥-3

或

a＜0

16a≥-3

-4a≤2

即0＜a≤

或-

≤a＜0故 a的取值范围是(0，

]∪[-

，0)．