问题
解答题
设F1、F2分别为椭圆C：
（1）若椭圆C上的点A（1，
（2）已知圆心在原点的圆具有性质：若M、N是圆上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．试对椭圆
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答案
（1）由题意知，2a=4，∴椭圆C的方程为
+x2 4
=1，把点A（1，y2 b2
）代入，得3 2
+1 4
=1，解得b2=3，c2=1，∴椭圆C的方程是9 4 b2
+x2 4
=1，焦点坐标是F1（-1，0），F2（1，0）y2 3
（2）在椭圆
+x2 a2
=1上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-y2 b2 b2 a2
证明：设椭圆方程是
+x2 A
=1(A=a2，B=b2)，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么y2 B
+m2 A
=1①且n2 B
+x2 A
=1②y2 B
因为kPM•kPN=(
)•(y-n x-m
)=y+n x+m
，由①知：n2=B-y2-n2 x2-m2
m2，由②y2=B-B A
x2，所以y2-n2=-B A
(x2-m2)，所以kPM•kPN=B A
=-y2-n2 x2-m2
=-B A b2 a2