问题 解答题
已知z为虚数,且|2z+15|=
3
|z+10|

(1)求|z|;(2)设u=(3-i)z,若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上,求复数z;(3)若z2+2
.
z
为实数,且z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根,试写出此方程.
答案

(1)设z=m+ni,且 m、n∈R,n≠0,则有|2m+15+2yi|=

3
|x+10+yi|,

∴(2m+15)2+4n2=3(m+10)2+3n2,化简可得 m2+n2=75.

∴|z|=

75
=5
3

(2)∵u=(3-i)z,若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上,

∴u=(3m+n)+(3n-m)i,3m+n+3n-m=0,∴

m=-2n
m2+n2=75

m=2
15
n =-
15
  或
m=-2
15
n =
15
.∴z=2
15
-
15
i,z=-2
15
+
15
i.

(3)∵z2 +2

.
z
=m2-n2+2m+2n(m-1)i 为实数,∴2n(m-1)=0,由n≠0可得 m=1.

又m2+n2=75,∴n=±

74

∴z=1+

74
i,或  z=1-
74
i.

由 z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根,利用根与系数的关系可得-p=1+

74
i+1-
74
i=2,

q=(1+

74
i )(1-
74
i )=75,故要求的方程为:x2-2x+75=0.

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