问题
解答题
已知z为虚数,且|2z+15|=
(1)求|z|;(2)设u=(3-i)z,若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上,求复数z;(3)若z2+2
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答案
(1)设z=m+ni,且 m、n∈R,n≠0,则有|2m+15+2yi|=
|x+10+yi|,3
∴(2m+15)2+4n2=3(m+10)2+3n2,化简可得 m2+n2=75.
∴|z|=
=575
.3
(2)∵u=(3-i)z,若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上,
∴u=(3m+n)+(3n-m)i,3m+n+3n-m=0,∴
.m=-2n m2+n2=75
∴
或 m=2 15 n =- 15
.∴z=2m=-2 15 n = 15
-15
i,z=-215
+15
i.15
(3)∵z2 +2
=m2-n2+2m+2n(m-1)i 为实数,∴2n(m-1)=0,由n≠0可得 m=1.. z
又m2+n2=75,∴n=±
.74
∴z=1+
i,或 z=1-74
i. 74
由 z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根,利用根与系数的关系可得-p=1+
i+1-74
i=2,74
q=(1+
i )(1-74
i )=75,故要求的方程为:x2-2x+75=0.74