已知z为虚数，且|2z+15|=3|z+10|．（1）求|z|；（2）设u=（3

问题解答题

已知z为虚数，且|2z+15|=

|z+10|．
（1）求|z|；（2）设u=（3-i）z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，求复数z；（3）若z²+2

为实数，且z恰好为实系数方程x²+px+q=0的两根，试写出此方程．

答案

（1）设z=m+ni，且 m、n∈R，n≠0，则有|2m+15+2yi|=

|x+10+yi|，

∴（2m+15）²+4n²=3（m+10）²+3n²，化简可得 m²+n²=75．

∴|z|=

．

（2）∵u=（3-i）z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，

∴u=（3m+n）+（3n-m）i，3m+n+3n-m=0，∴

m=-2n

m2+n2=75

．

∴

m=2

n =-

或

m=-2

n =

．∴z=2

i，z=-2

i．

（3）∵z²+2

=m²-n²+2m+2n（m-1）i 为实数，∴2n（m-1）=0，由n≠0可得 m=1．

又m²+n²=75，∴n=±

．

∴z=1+

i，或 z=1-

i．

由 z恰好为实系数方程x²+px+q=0的两根，利用根与系数的关系可得-p=1+

i+1-

i=2，

q=（1+

i ）（1-

i ）=75，故要求的方程为：x²-2x+75=0．