（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（c＞0），依题意

c a = 6 3 a= 3

解得c=

2

．

由a²=b²+c²，得b=1．

∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1

（Ⅱ）∵m=1，∴y=kx+1．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程

x2 3 +y2=1 y=kx+1

消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0&，

则△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0&，解得k≠0．

故x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1•x2=0．

∵

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）•（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1

=(1+k2)×0+k•

-6k

1+3k2

+1=

1-3k2

3k2+1

=0∴k=±

3

3

．

（Ⅲ）由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，可得m2=

3

4

(k2+1)．

将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．

△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0（*）

∴x1+x2=

-6km

1+3k2

，x1•x2=

3m2-3

1+3k2

．

∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]

=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4(k≠0)．

当且仅当9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

时等号成立．

经检验，k=±

3

3

满足（*）式．

当k=0时，|AB|=

3

．

综上可知|AB|_max=2．∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值S=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．