问题
解答题
已知函数f（x）=lnx，g(x)=
（1）若a=0，且h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围； （2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； （3）若a≠0，设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，请判断C1在点M处的切线与C2在点N处的切线能否平行，并说明你的理由． |
答案
（1）不等式lnx-bx＜0⇒
＜b，函数p(x)=lnx x
，x∈（0，+∞），由p/(x)=lnx x
=0，得x=e，1-lnx x2
所以p（x）先增后减，
最大值为p(e)=
，b＞1 e 1 e
（2）b=2时，h(x)=lnx-
ax2-2x，1 2
则h′(x)=
-ax-2=-1 x
．ax2+2x-1 x
当a=0时，x＞
时，h′（x）＜0，函数为减函数；1 2
当a＞0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0，总有x＞0；
当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1＞0，总有x＞0；
则△=4+4a＞0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0，
综上：a∈（-1，+∞）
（3）不能平行．
设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．
则点M、N的横坐标为x=x1+x2 2
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行得：
=2 x1+x2
+b，点P、Q的坐标代入函数表达式a(x1+x2) 2
两式相减得：
=lnx2-lnx1⇒ln2(x2-x1) x1+x2
=x2 x1 2(
-1)x2 x1 1+ x2 x1
设t=
，则lnt=x2 x1
，t＞1．令r(t)=lnt-2(t-1) 1+t
，t＞1．2(t-1) 1+t
得用导数得r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．
所以lnt=
，t＞1不成立，即两切线不可能平行．2(t-1) 1+t