问题
解答题
已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2
(1)求点P的轨迹C的方程; (2)若直线l:y=kx+2与轨迹C交于A、B两点,且
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答案
(1)∵点F1(-1,0)、F2(1,0),|PF1|+|PF2|=2
>|F1F2|,3
∴点P的轨迹C是以F1、F2为焦点且长轴2a=2
的椭圆,可得a=3
,b=3
=a2-c2 2
因此,点P的轨迹C的方程为
+x2 3
=1.y2 2
(2)直线l:y=kx+2与
+x2 3
=1联列,消去y得:(3k2+2)x2+12kx+6=0,y2 2
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数关系可得
x1+x2=
,x1x2=-12k 3k2+2 6 3k2+2
则y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
=
-6k2 3k2+2
+4=24k2 3k2+2 8-6k2 3k2+2
∵
•OA
=0,OB
∴x1x2+y1y2=0,即
+6 3k2+2
=0,解之得k=±8-6k2 3k2+2 21 3