问题 解答题
已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2
3

(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若直线l:y=kx+2与轨迹C交于A、B两点,且
OA
OB
=0
(其中O为坐标原点),求k的值.
答案

(1)∵点F1(-1,0)、F2(1,0),|PF1|+|PF2|=2

3
>|F1F2|,
∴点P的轨迹C是以F1、F2为焦点且长轴2a=2
3
的椭圆,可得a=
3
,b=
a2-c2
=
2

因此,点P的轨迹C的方程为

x2
3
+
y2
2
=1.

(2)直线l:y=kx+2与

x2
3
+
y2
2
=1联列,消去y得:(3k2+2)x2+12kx+6=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数关系可得

x1+x2=

-12k
3k2+2
,x1x2=
6
3k2+2

则y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4

=

6k2
3k2+2
-
24k2
3k2+2
+4=
8-6k2
3k2+2

OA
OB
=0,

∴x1x2+y1y2=0,即

6
3k2+2
+
8-6k2
3k2+2
=0,解之得k=±
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3

多项选择题
单项选择题 A1/A2型题