问题 解答题
已知函数f(x)=mx+xlnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若n(2x-1)<f(x)对任意x>
1
2
恒成立,求实数n的取值范围;
(3)当b>a>1时,证明(ab2bn>(ba2ab
答案

(1)求导函数f′(x)=m+lnx+1,

∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直.

∴f′(1)=m+1=2,∴m=1

∵f(1)=1,∴直线l的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;

(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,

n(2x-1)<f(x)对任意x>

1
2
恒成立,等价于n<
x+xlnx
2x-1
对任意x>
1
2
恒成立,

令g(x)=

x+xlnx
2x-1
,则g′(x)=
2x-lnx-2
(2x-1)2

令h(x)=2x=lnx-2(x>

1
2
),则h′(x)=
2x-1
x
>0

∴h(x)在(

1
2
,+∞)上单调递增

∵h(1)=0

∴当

1
2
<x<1时,h(x)<0,∴g′(x)<0,

当x>1时,h(x)>0,∴g′(x)>0,

∴g(x)=

x+xlnx
2x-1
在(
1
2
,1
)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增

∴g(x)min=g(1)=1

∴n<1,即实数n的取值范围是(-∞,1)

(3)证明:由(2)知,g(x)=

x+xlnx
2x-1
在(1,+∞)上单调递增

∴当b>a>1时,

b+blnb
2b-1
a+alna
2a-1

∴b(2a-1)(1+lnb(>a(2b-1)(1+lna)

∴2ablnb+alna>2ablna+blnb+(b-a)

∵b>a,∴2ablnb+alna>2ablna+blnb

∴lnb2ab+lnaa>lna2ab+lnbb

∴ln(b2abaa)>ln(a2abbb

∴(ab2bn>(ba2ab

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