问题
解答题
已知函数f(x)=mx+xlnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直. (1)求直线l的方程; (2)若n(2x-1)<f(x)对任意x>
(3)当b>a>1时,证明(ab2b)n>(ba2a)b. |
答案
(1)求导函数f′(x)=m+lnx+1,
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直.
∴f′(1)=m+1=2,∴m=1
∵f(1)=1,∴直线l的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;
(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,
n(2x-1)<f(x)对任意x>
恒成立,等价于n<1 2
对任意x>x+xlnx 2x-1
恒成立,1 2
令g(x)=
,则g′(x)=x+xlnx 2x-1 2x-lnx-2 (2x-1)2
令h(x)=2x=lnx-2(x>
),则h′(x)=1 2
>02x-1 x
∴h(x)在(
,+∞)上单调递增1 2
∵h(1)=0
∴当
<x<1时,h(x)<0,∴g′(x)<0,1 2
当x>1时,h(x)>0,∴g′(x)>0,
∴g(x)=
在(x+xlnx 2x-1
,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增1 2
∴g(x)min=g(1)=1
∴n<1,即实数n的取值范围是(-∞,1)
(3)证明:由(2)知,g(x)=
在(1,+∞)上单调递增x+xlnx 2x-1
∴当b>a>1时,
>b+blnb 2b-1 a+alna 2a-1
∴b(2a-1)(1+lnb(>a(2b-1)(1+lna)
∴2ablnb+alna>2ablna+blnb+(b-a)
∵b>a,∴2ablnb+alna>2ablna+blnb
∴lnb2ab+lnaa>lna2ab+lnbb
∴ln(b2abaa)>ln(a2abbb)
∴(ab2b)n>(ba2a)b.