问题
解答题
椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2
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答案
设A(x1,y1),B(x2,y2),那么A、B的坐标是方程组
的解.ax2+by2=1 x+y-1=0
即:a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0,
因为
=-1,y1-y2 x1-x2
所以
=y1+y2 x1+x2
,a b
即
=2yc 2xc
,a b
=yc xc
=a b
,所以b=2 2
a①2
再由方程组消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
由|AB|=
=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=2(x1-x2)2
=2 2[(x1+x2)2-4x1x2]
,2
得(x1+x2)2-4x1x2=4,即(
)2-4•2b a+b
=4.②b-1 a+b
由①②解得a=
,b=1 3
,2 3
故所求的椭圆的方程为
+x2 3
=1.
y22 3