问题 解答题
椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2
2
,OC
的斜率为
2
2
,求椭圆的方程.
答案

设A(x1,y1),B(x2,y2),那么A、B的坐标是方程组

ax2+by2=1
x+y-1=0
的解.

即:a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0,

因为

y1-y2
x1-x2
=-1,

所以

y1+y2
x1+x2
=
a
b

2yc
2xc
=
a
b
yc
xc
=
a
b
=
2
2
,所以b=
2
a①

再由方程组消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0,

由|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
2(x1-x2)2
=

2[(x1+x2)2-4x1x2]
=2
2

得(x1+x22-4x1x2=4,即(

2b
a+b
2-4•
b-1
a+b
=4.②

由①②解得a=

1
3
,b=
2
3

故所求的椭圆的方程为

x2
3
+
2
y2
3
=1.

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