问题
解答题
已知A（1，0），B（4，0），动点T（x，y）满足
（1）求曲线C的方程； （2）若
（3）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与曲线C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值． |
答案
（1）设D（x，y）为曲线C上任一点，
∵动点T（x，y）满足
=|TA| |TB|
，1 2
∴
=|CA| |CB|
=1 2
，(x-1)2+y2 (x-4)2+y2
化简整理得x2+y2=4．
∴曲线C的方程为x2+y2=4．（3分）
（2）因为
•OP
=2×2×cos∠POQ=-2，OQ
所以cos∠POQ=-
，∠POQ=120°，1 2
所以圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=
=1，1 k2+1
所以k=0．（6分）
（3）当k=0时，|MN|=2
，|PQ|=4，SPMQN=3
×21 2
×4=43 3
当k≠0时，圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=
，1 k2+1
所以|MN|=2
l1：y=-4- 1 k2+1
x+1，1 k
同理得|PQ|=2
=24- 1 (-
)2+11 k
=24- k2 k2+1
，3+ 1 k2+1
∴SPMQN=
|MN||PQ|=21 2
•4- 1 k2+1
，3+ 1 k2+1
S=2
≤2×-(
-1 k2+1
)2+1 2 49 4
=7，7 2
当且仅当k=±1时取等号，
∴当k=±1时，Smax=7，
综上所述，当k=±1时，四边形PMQN面积有最大值7．