（I）∵f（x）=e^x-ax，

∴当x=0时，f（x）=e⁰-a×0=1

所以函数y=f（x）的图象恒过的定点为M（0，1）．

（II）（i）对函数求导数，得f'（x）=e^x-a，

当a=

1

2

时，f'（x）=e^x-

1

2

，

所以函数y=f（x）图象在点P（x₀，y₀）处的切线斜率为k=f'（x₀）=ex0-

1

2

，

可得切线L的方程为：y-y₀=（ex0-

1

2

）（x-x₀）

∵y₀=f（x₀）=ex0-

1

2

x₀，

∴函数y=f（x）图象在点P（x₀，y₀）处的切线L的方程化简，

得：y-（ex0-

1

2

x₀）=（ex0-

1

2

）（x-x₀），即y=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）

设y=g（x）=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），

再记F（x）=f（x）-g（x）=（e^x-

1

2

x）-[（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）]=e^x-ex0•x+ex0•x₀-ex0，

对F（x）求导数，得F'（x）=e^x-ex0，

当x＞x₀时，F'（x）＞0，得函数F（x）在区间（x₀，+∞）为增函数；

当x＜x₀时，F'（x）＜0，得函数F（x）在区间（-∞，x₀）为减函数，

∴当x=x₀时，F（x）有最小值F（x₀）=0．即F（x）≥0对任意的x∈R，都有F（x₀）≥0，

也就是f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立．

因此，函数f（x）图象上所有的点都位于切线L的上方，由此可得当a=

1

2

时，函数y=f（x）是“单侧函数”．

（ii）由（i）的证明可得e^x+

1

2

x≥（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），

取x₀=0，得不等式e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1对任意x∈R都成立…①，

接下来证明

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立：

记函数G（x）=（

1

2

x+1）-[ln（

1

2

x+1）+1]=

1

2

x-ln（

1

2

x+1），

对G（x）求导数，得G'（x）=

1

2

-

1

1 2 x+1

•

1

2

=

x

2(x+2)

∴当x＞0时，G'（x）＞0，得函数G（x）在区间（0，+∞）为增函数；

当-2＜x＜0时，F'（x）＜0，得函数F（x）在区间（-2，0）为减函数，

可得当x=0时，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0对任意的x∈（-2，+∞）都成立．

所以不等式

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立…②，

对照①②可得e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立，

即当x∈（-2，+∞）时），e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1恒成立．