问题
解答题
设f(x)=λ1(
（1）当λ1=1，λ2=0时，设x1，x2是f（x）的两个极值点， ①如果x1＜1＜x2＜2，求证：f'（-1）＞3； ②如果a≥2，且x2-x1=2且x∈（x1，x2）时，函数g（x）=f'（x）+2（x-x2）的最小值为h（a），求h（a）的最大值． （2）当λ1=0，λ2=1时， ①求函数y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值． ②对于任意的实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证3aa+3bb+3cc≥9． |
答案
（Ⅰ）①证明：当λ1=1，λ2=0时，f'（x）=ax2+（b-1）x+1，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，
由x1＜1＜x2＜2且a＞0得
，f′(1)＜0 f′(2)＞0
即
．a+b＜0 4a+2b-1＞0
所以f′（-1）=a-b+2=-3（a+b）+（4a+2b-1）+3＞3．（3分）
②设f'（x）=a（x-x1）（x-x2），
所以g(x)=a(x-x2)(x-x1+
)=-a(x2-x)(x-x1+2 a
)，2 a
易知x2-x＞0，x-x1+
＞0，2 a
所以g(x)≥-a•(
)2=-(a+(x2-x)+(x-x1+
)2 a 2
+2)1 a
当且仅当x1-x=x-x1+
时，2 a
即x=
-x1+x2 2
=x1+1-1 a
时取等号1 a
所以h(a)=-(a+
+2)（a≥2）．1 a
易知当a=2时，h（a）有最大值，
即h(a)max=h(2)=-
．（5分）9 2
（Ⅱ）①当λ1=0，λ2=1时，f（x）=3xx，
所以y=3xx-3（ln3+1）x．y'=3x（ln3）•x+3x-3（ln3+1），容易知道y'是单调增函数，
且x=1是它的一个零点，即也是唯一的零点．
当x＞1时，y'＞0；当x＜1时，y'＜0，
故当x=1时，
函数y=f（x）-3（ln3+1）x有最小值为-3ln3．（4分）
②由①知3xx≥3（ln3+1）x-3ln3，
当x分别取a、b、c时有：3aa≥3（ln3+1）a-3ln3；3bb≥3（ln3+1）b-3ln3；3cc≥3（ln3+1）c-3ln3
三式相加即得．（3分）
