已知圆O：x2+y2=4，动点P（t，0）（-2≤t≤2），曲线C：y=3|x-

问题解答题

已知圆O：x²+y²=4，动点P（t，0）（-2≤t≤2），曲线C：y=3|x-t|．曲线C与圆O相交于两个不同的点M，N
（1）若t=1，求线段MN的中点P的坐标；
（2）求证：线段MN的长度为定值；
（3）若t=

，m，n，s，p均为正整数．试问：曲线C上是否存在两点A（m，n），B（s，p）（11），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1）？若存在请求出所有的点A，B；若不存在请说明理由．

答案

（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜1＜x₂），P（x₀，y₀）

由

x2+y2=4

y=3|x-1|

⇒10x2-18x+5=0，

所以x0=

x1+x2

，y0=

y1+y2

3(x2-x1)

(x1+x2)2-4x1x2

所以p(

，

)---------------------------（6分）

（2）MN2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8-2x1x2-2y1y2，

x2+y2=4

y=3|x-t|

⇒10x2-18tx+9t2-4=0，

x1+x2=

，x1

9t2-4

，

y1y2=9(t-x1)(x2-t)=9[-t2+t(x1+x2)-x1x2]=-

9t2

，

MN2=

，MN=

为定值．---------------------------------（4分）

（3）设p(x0，y0)，

=4，

(x0-m)2+(y0-n)2

(x0-s)2+(y0-t)2

=k(k＞1)⇒

4+m2+n2-2mx0-2ny0=k2[4+s2+p2-2sx0-2py0]

⇔

2m=k22s

2n=k22p

4+m2+n2=k2(4+s2+p2)

消去m，n得s2+p2=

＜4

所以s=p=1，k=

，此时m=n=2，又A（2，2），B（1，1）在曲线C上

所以仅有A（2，2），B（1，1）符合．----------------------------------------（6分）