（1）∵f（x）=x³-ax，x∈R，

∴f′（x）=3x²-a≥-a，

∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=-a，

∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，

∴-a=-1，故a=1．

（2）∵a=1，∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，

令f′（x）=3x²-1=0，得x=±

3

3

．

列表讨论：

x	（-∞，- 3 3 ）	- 3 3	（- 3 3 ， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表讨论知：函数f（x）的单调增区间是 （-∞，-

3

3

）、（

3

3

，+∞）；单调减区间是（-

3

3

，

3

3

）．

极大值f（-

3

3

）=-

3

9

+

3

3

=

2 3

9

，

极小值f（

3

3

）=

3

9

-

3

3

=-

2 3

9

．

（3）∵f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，

∴k≤

f(x)

f(x-1)

=

x3-x

(x-1)3-(x-1)

=

x(x-1)(x+1)

x(x-1)(x-2)

=

x+1

x-2

=1+

3

x-2

，

∵x∈（1，+∞），

当1＜x＜2时，-2＜1+

3

x-2

＜1

当x=-2时，1+

3

x-2

＜+∞，

当x＞2时，1+

3

x-2

＞1

∴k≤-2．