已知平面内与两定点A（2，0），B（-2，0）连线的斜率之积等于-14

问题解答题

已知平面内与两定点A（2，0），B（-2，0）连线的斜率之积等于-

的点P的轨迹为曲线C₁，椭圆C₂以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若曲线C₁与C₂交于M、N、P、Q四点，当四边形MNPQ面积最大时，求椭圆C₂的方程及此四边形的最大面积．

答案

（Ⅰ）设动点坐标为（x，y），则由题意可得

x-2

x+2

，即

+y2=1（x≠±2）

∴C₁的方程为

+y2=1（x≠±2）；

（Ⅱ）椭圆C₂以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为

，则可设方程为

=1（a＞0）

由

+y2=1

可得

x2=a2-1

y2=

5-a2

∴四边形MNPQ面积为4

(a2-1)•

5-a2

-(a2-3)2+4

∴a²=3时，四边形MNPQ面积最大为4，此时椭圆C₂的方程为