（1）由kx=x+2，

得（k-1）x=2．

依题意k-1≠0．

∴x=

∵方程的根为正整数，k为整数，

∴k-1=1或k-1=2．

∴k₁=2，k₂=3．

（2）依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点（1，0），

∴0=a-b+kc，

kc=b-a，

∵已知akc≠0，

∴b-a≠0，

∴

（3）证明：方程②的判别式为△=（-b）²-4ac=b²-4ac．

由a≠0，c≠0，得ac≠0．

（i）若ac＜0，则-4ac＞0．故△=b²-4ac＞0．

此时方程②有两个不相等的实数根．

（ii）证法一：若ac＞0，由（2）知a-b+kc=0，

故b=a+kc．

△=b²-4ac=（a+kc）²-4ac

=a²+2kac+（kc）²-4ac

=a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac

=（a-kc）²+4ac（k-1）

∵方程kx=x+2的根为正实数，

∴方程（k-1）x=2的根为正实数．

由x＞0，2＞0，得k-1＞0．

∴4ac（k-1）＞0．

∵（a-kc）²≥0，

∴△=（a-kc）²+4ac（k-1）＞0．

此时方程②有两个不相等的实数根．

证法二：若ac＞0，

∵抛物线y=ax²-bx+kc与x轴有交点，

∴△₁=（-b）²-4akc=b²-4akc≥0．

（b²-4ac）-（b²-4akc）=4ac（k-1）．

由证法一知k-1＞0，

∴b²-4ac＞b²-4akc≥0．

∴△=b²-4ac＞0．此时方程②有两个不相等的实数根．

综上，方程②有两个不相等的实数根．