（1）设P（x，y），

AP

=(x，y-1)，

BP

=(x，y+1)，

PC

=(1-x，-y)．

当k=1时，由

AP

•

BP

=k|

PC

|²，得x²+y²-1=（1-x）²+y²，

整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；

当k≠1时，由

AP

•

BP

=k|

PC

|²，得x²+y²-1=k（1-x）²+ky²，

整理得：(x+

k

1-k

)2+y2=(

1

1-k

)2，表示以点(-

k

1-k

，0)为圆心，以

1

|1-k|

为半径的圆．

（2）当k=2时，方程化为（x-2）²+y²=1，即x²+y²=4x-3，

∵2

AP

+

BP

=(3x，3y-1)，

∴|2

AP

+

BP

|=

9x2+9y2-6y+1

，又x²+y²=4x-3，

∴|2

AP

+

BP

|=

36x-6y-26

=

6(6x-y)-26

．

问题归结为求6x-y的最值，令t=6x-y，

∵点P在圆（x-2）²+y²=1，圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径，

∴

|12-t|

37

≤1，解得12-

37

≤t≤12+

37

．

∴

37

-3≤|2

AP

+

BP

|≤12+

37

．