（1）因为f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，

所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）

因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）

（2）因为f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+c．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	(2， 9 4 )	9 4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 23 6 +c	单调递增	5 6 +c	单调递减	2 3 +c	单调递增	45 64 +c

因此当x=1时，f（x）有极大值

5

6

+c．…（6分）

又f(

9

4

)=

45

64

+c＜

5

6

+c，f(-1)=-

23

6

+c＜

5

6

+c，

∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）最大值为f(1)=

5

6

+c．…（7分）

∴c2-

7

6

＞

5

6

+c．∴c＜-1或c＞2．…（8分）

（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

恒成立．

由（2）可知，当x=2时，f（x）有极小值

2

3

+c．

又f(-1)=-

23

6

+c＜

2

3

+c，f(1)=

5

6

+c＞-

23

6

+c．

∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）的最小值为-

23

6

+c．…（10分）

∴|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=

14

3

，故结论成立．…（12分）