问题 解答题
(Ⅰ)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a),若实数a>0且过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;
(Ⅱ)过点(
2
,0)引直线l与曲线y=
1-x2
相交于A,B两点,O为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,求直线l的方程.
答案

(I)由条件知点M(1,a)在圆0上,∴1+a2=4,∴a=±

3

又∵a>0,∴a=

3

∴kOM=

3
,故切线的斜率 k切线=-
3
3

∴切线方程为y-

3
=-
3
3
(x-1),即:
3
x+3y-4
3
=0

(Ⅱ)由曲线y=

1-x2
,可得 x2+y2=1 (y≥0).

设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有2个交点,且与x轴不重合,则-1<k<0,

直线l的方程为 y-0=k(x-

2
),即 kx-y-
2
k=0.

圆心O到直线l的距离为d=

|0-0-
2
k|
k2+1
=
-
2
k
k2+1
,故半弦长为
1+(
-
2
k
k2+1
)
2
=
1-k2
k2+1

S△ABO=

-
2
k
k2+1
1-k2
k2+1
=
2k2(1-k2)
(k2+1)2
=
-2(k2+1)2+6(k2+1)-4
(k2+1)2
=
-
4
(k2+1)2
+
6
k2+1
-2

t=

1
k2+1
,则S△ABO=
-4t2+6t-2

故当t=

3
4
,即
1
k2+1
=
3
4
时,S△ABo取最大值为
1
2
,此时由
1
k2+1
=
3
4
,可得k=-
3
3

∴直线l的方程为:-

3
3
x-y+
6
3
=0,即
3
x+3y-
6
=0

单项选择题
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