问题
解答题
(Ⅰ)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a),若实数a>0且过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程; (Ⅱ)过点(
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答案
(I)由条件知点M(1,a)在圆0上,∴1+a2=4,∴a=±
.3
又∵a>0,∴a=
.3
∴kOM=
,故切线的斜率 k切线=-3
,3 3
∴切线方程为y-
=-3
(x-1),即:3 3
x+3y-43
=0.3
(Ⅱ)由曲线y=
,可得 x2+y2=1 (y≥0).1-x2
设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有2个交点,且与x轴不重合,则-1<k<0,
直线l的方程为 y-0=k(x-
),即 kx-y-2
k=0.2
圆心O到直线l的距离为d=
=|0-0-
k|2 k2+1
,故半弦长为 -
k2 k2+1
=1+(
)2-
k2 k2+1
,1-k2 k2+1
∴S△ABO=
•-
k2 k2+1
=1-k2 k2+1
=2k2(1-k2) (k2+1)2
=-2(k2+1)2+6(k2+1)-4 (k2+1)2
.-
+4 (k2+1)2
-26 k2+1
令t=
,则S△ABO=1 k2+1
,-4t2+6t-2
故当t=
,即3 4
=1 k2+1
时,S△ABo取最大值为3 4
,此时由1 2
=1 k2+1
,可得k=-3 4
,3 3
∴直线l的方程为:-
x-y+3 3
=0,即6 3
x+3y-3
=0.6