问题 解答题

已知函数f(x)=x2(x-a),a∈R.

(1)若x=6为函数f(x)的一个极值点,求a的值;

(2)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,4)处的切线方程;

(3)设a≥3时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.

答案

(1)因为函数f(x)=x2(x-a),所以f′(x)=3x2-2ax,

因为x=6,为函数f(x)的一个极值点,所以f′(6=0),

即3×62-2a×6=0,解得a=9.

(2)当a=1时,f′(x)=3x2-2x,f′(2)=3×22-2×2=8,

所求的切线方程为:y-4=8(x-2),即8x-y-12=0.

(3)当a≥3时,由f′(x)=3x2-2ax=0,解得x1=0,x2=

2a
3
,由f′(x)<0,得0<x<
2a
3

因为a≥3,所以x2=

2a
3
≥2,

所以函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,

所以函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(2)=8-4a.

判断题

)

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