问题
解答题
| 已知函数f（x）=aln（2x+1）+bx+1． （I）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-3=0平行，求a的值； （Ⅱ）若b=
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答案
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为(-
，+∞).f′(x)=1 2 2bx+2a+b 2x+1
由题意
，解得f′(1)=0 f′(0)=-2
∴a=-a=- 3 2 b=1
．（5分）3 2
（Ⅱ）若b=
，则f(x)=aln(2x+1)+1 2
x+1.f′(x)=1 2
．2x+4a+1 4x+2
（1）令f′(x)=
＞0，由函数定义域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞02x+4a+1 4x+2
①当a≥0时，x∈(-
，+∞)，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；1 2
②当a＜0时，x∈(-2a-
，+∞)，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；1 2
（2）令f′(x)=
＜0，即2x+4a+1＜02x+4a+1 4x+2
①当a≥0时，不等式f'（x）＜0无解；
②当a＜0时，x∈(-
，-2a-1 2
)，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；1 2
综上：当a≥0时，函数f（x）在区间(-
，+∞)为增函数；1 2
当a＜0时，函数f（x）在区间(-2a-
，+∞)为增函数；1 2
在区间(-
，-2a-1 2
)为减函数．（14分）1 2