过点Q(-2，21)作圆O：x2+y2=r2（r＞0）的切线，切点为D，且QD=

问题解答题

过点Q(-2，

)作圆O：x²+y²=r²（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4．
（1）求r的值；
（2）设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设

，求|

|的最小值（O为坐标原点）．
（3）从圆O外一点M（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为T，N（2，3），且有|MT|=|MN|，求|MT|的最小值，并求此时点M的坐标．

答案

（1）圆C：x²+y²=r²（r＞0）的圆心为O（0，0），则

∵过点Q（-2，

）作圆C：x²+y²=r²（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4

∴r=OD=

QO2-QD2

4+21-16

=3；

（2）设直线l的方程为

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，则A（a，0），B（0，b），

∵

，∴

=（a，b），∴|

a2+b2

∵直线l与圆C相切，∴

|-ab|

a2+b2

∴3

a2+b2

=ab≤

a2+b2

∴a²+b²≥36

∴|

|≥6

当且仅当a=b=3

时，|

|的最小值为6．

（3）∵切线MN⊥OT，∴|MT|²=|MO|²-9，又|MN|=|MT|，∴|MN|²=|MO|²-9，

M（x₁，y₁），过N（2，3）的直线的斜率为k，所以NT的方程为：y-3=k（x-2），

与圆的方程x²+y²=9联立，

y-3=k(x-2)

x2+y2=9

，消去y可得：（k²+1）x²+2（3-2k）kx+4k²-12k=0，

因为直线与圆相切，所以△=0，即[2（3-2k）k]²-4（k²+1）（4k²-12k）=0，

化简得：5k²+12k=0，解得k=0或k=-

，

当k=0时，x=0，此时T（0，3），当k=

时，x=

，此时T（

，

）

∴满足条件的M点坐标为（1，3）或（

，

）